2. A New Symplectic Map
Consider the discrete
4
×
4
spectral problem given in [13]
(1)
E
ψ
n
=
U
n
ψ
n
,
U
n
=
(
-
a
n
c
n
-
1
c
n
0
λ
-
b
n
c
n
0
0
1
a
n
0
0
0
c
n
1
0
0
0
)
,
ψ
=
(
ψ
n
1
ψ
n
2
ψ
n
3
ψ
n
4
)
,
where
a
n
,
b
n
,
c
n
are three potentials and
λ
is a constant spectral parameter;
E
is a translation operator defined by
E
f
n
=
f
n
+
1
. For the sake of convenience, we usually denote
f
n
+
k
=
E
k
f
n
,
f
n
-
k
=
E
-
k
f
n
. In order to derive the hierarchy of Lattice equations associated with (1), authors of [13] first solve the stationary discrete zero-curvature equation:
(2)
V
n
+
1
U
n
-
U
n
V
n
=
0
,
V
n
=
(
V
n
,
i
j
)
4
×
4
,
where the entries
V
i
j
of the matrix
V
n
are Laurent expansions of
λ
. Let
ψ
n
satisfy the spectral problem (1) and its auxiliary problem:
(3)
ψ
n
,
t
=
V
n
(
m
)
ψ
n
,
V
n
(
m
)
=
(
λ
m
V
n
)
+
;
then the zero-curvature equation
U
n
,
t
=
V
n
+
1
(
m
)
U
n
-
U
n
V
n
(
m
)
yields the discrete hierarchy of a generalization of Toda lattices. The first system of evolution equations in this hierarchy is
(4)
a
n
,
t
=
1
2
a
n
(
b
n
-
b
n
+
1
)
+
a
n
-
1
c
n
-
1
-
a
n
+
1
c
n
,
b
n
,
t
=
a
n
-
1
2
-
a
n
2
+
c
n
-
2
2
-
c
n
2
,
c
n
,
t
=
1
2
c
n
(
b
n
-
b
n
+
2
)
,
which is a generalization of Toda lattice equation.
Let
λ
1
,
…
,
λ
N
be
N
distinct nonzero eigenvalues of (1), and the associated eigenfunctions are denoted by
(5)
q
j
1
=
ψ
n
3
(
λ
j
)
,
q
j
2
=
ψ
n
2
(
λ
j
)
,
p
j
1
=
ψ
n
1
(
λ
j
)
,
p
j
2
=
ψ
n
4
(
λ
j
)
,
where we denote
q
j
k
=
q
j
k
(
n
)
and
p
j
k
=
p
j
k
(
n
)
(
k
=
1,2
)
for convenience. Then the system associated with (1) can be written in the form
(6)
E
q
j
1
=
c
n
p
j
2
,
E
q
j
2
=
q
j
1
+
a
n
p
j
2
,
E
p
j
1
=
-
1
c
n
(
a
n
p
j
1
+
q
j
2
-
λ
j
p
j
2
+
b
n
p
j
2
)
,
E
p
j
2
=
p
j
1
.
Now we consider the Bargmann constraint
(7)
∑
j
=
1
N
∇
λ
j
=
G
n
(
0
)
,
where
G
n
(
0
)
=
(
2
a
n
,
b
n
,
2
c
n
)
T
and
∇
λ
j
is the functional gradient of the eigenvalue
λ
j
with regard to the potentials
a
n
,
b
n
, and
c
n
; that is,
(8)
∇
λ
j
=
(
δ
λ
j
δ
a
n
δ
λ
j
δ
b
n
δ
λ
j
δ
c
n
)
=
(
2
p
j
1
p
j
2
p
j
2
p
j
2
-
2
c
n
[
a
n
p
j
1
p
j
2
+
q
j
2
p
j
2
+
(
λ
j
-
b
n
)
p
j
2
p
j
2
]
)
.
Combining (7) and (8), it is easy to see that
(9)
a
n
=
〈
p
1
,
p
2
〉
,
b
n
=
〈
p
2
,
p
2
〉
,
c
n
=
(
-
〈
p
1
,
p
2
〉
2
-
〈
q
2
,
p
2
〉
+
〈
Λ
p
2
,
p
2
〉
-
〈
p
2
,
p
2
〉
2
)
1
/
2
,
where
Λ
=
diag
(
λ
1
,
…
,
λ
N
)
and
〈
·
,
·
〉
is the standard inner-product in
R
N
,
q
i
=
(
q
1
i
,
…
,
q
N
i
)
T
and
p
i
=
(
p
1
i
,
…
,
p
N
i
)
T
. Substituting (9) into (6), we can get the following system:
(10)
E
q
j
1
=
(
-
〈
p
1
,
p
2
〉
2
-
〈
q
2
,
p
2
〉
+
〈
Λ
p
2
,
p
2
〉
-
〈
p
2
,
p
2
〉
2
)
1
/
2
p
j
2
,
E
q
j
2
=
q
j
1
+
〈
p
1
,
p
2
〉
p
j
2
,
E
p
j
1
=
-
(
-
〈
p
1
,
p
2
〉
2
-
〈
q
2
,
p
2
〉
+
〈
Λ
p
2
,
p
2
〉
-
〈
p
2
,
p
2
〉
2
)
-
1
/
2
E
p
j
1
=
×
(
〈
p
1
,
p
2
〉
p
j
1
+
q
j
2
-
λ
j
p
j
2
+
〈
p
2
,
p
2
〉
p
j
2
)
,
E
p
j
2
=
p
j
1
.
Through tedious calculations one infers
(11)
∑
j
=
1
N
∑
i
=
1
2
d
(
E
q
j
i
)
∧
d
(
E
q
j
i
)
=
∑
j
=
1
N
∑
i
=
1
2
d
q
j
i
∧
d
q
j
i
.
Therefore, (10) determines a symplectic map
H
of the Bargmann type:
(12)
(
E
q
1
,
E
q
2
,
E
p
1
,
E
p
2
)
=
H
(
q
1
,
q
2
,
p
1
,
p
2
)
.
3. Liouville Integrability
Introducing a matrix
V
λ
,
(13)
V
λ
=
(
V
λ
i
j
)
4
×
4
=
(
-
Q
λ
(
q
1
,
p
1
)
-
λ
2
Q
λ
(
p
1
,
p
2
)
Q
λ
(
p
1
,
p
1
)
+
1
-
Q
λ
(
q
2
,
p
1
)
-
Q
λ
(
q
1
,
q
2
)
-
〈
q
1
,
p
2
〉
Q
λ
(
q
2
,
p
2
)
+
λ
2
Q
λ
(
q
2
,
p
1
)
-
Q
λ
(
q
2
,
q
2
)
-
〈
q
2
,
p
2
〉
-
Q
λ
(
q
1
,
q
1
)
-
〈
q
1
,
p
1
〉
Q
λ
(
q
1
,
p
2
)
Q
λ
(
q
1
,
p
1
)
+
λ
2
-
Q
λ
(
q
1
,
q
2
)
-
〈
q
1
,
p
2
〉
-
Q
λ
(
q
1
,
p
2
)
Q
λ
(
p
2
,
p
2
)
+
1
Q
λ
(
p
1
,
p
2
)
-
Q
λ
(
q
2
,
p
2
)
-
λ
2
)
,
where
(14)
Q
λ
(
q
i
,
p
j
)
=
∑
k
=
1
N
q
k
i
p
k
j
λ
-
λ
k
,
Q
λ
(
p
i
,
p
j
)
=
∑
k
=
1
N
p
k
i
p
k
j
λ
-
λ
k
,
Q
λ
(
q
i
,
q
j
)
=
∑
k
=
1
N
q
k
i
q
k
j
λ
-
λ
k
.
We can find that
V
λ
and
μ
I
-
V
λ
are two solutions of the stationary discrete zero-curvature equation (2) under the Bargmann constraint (7), where
μ
is a parameter and
I
is a
4
×
4
unit matrix. Then we assert that
det
V
λ
and
det
(
μ
I
-
V
λ
)
are independent constants of the discrete variable
n
. On the other hand,
(15)
det
(
μ
I
-
V
λ
)
=
μ
4
+
F
λ
(
1
)
μ
2
+
F
λ
(
2
)
,
where
(16)
F
λ
(
1
)
=
∑
1
≤
i
<
j
≤
4
|
V
λ
i
i
V
λ
i
j
V
λ
j
i
V
λ
j
j
|
,
F
λ
(
2
)
=
det
V
λ
.
Substituting the Laurent expansion of
Q
λ
(
q
i
,
p
j
)
,
Q
λ
(
p
i
,
p
j
)
,
Q
λ
(
q
i
,
q
j
)
into (16) we have
(17)
F
λ
(
1
)
=
-
1
2
λ
2
+
∑
m
≥
1
F
m
(
1
)
λ
-
m
,
F
^
λ
(
2
)
=
∑
m
≥
1
F
m
(
2
)
λ
-
m
,
where
(18)
F
^
λ
(
2
)
=
F
λ
(
2
)
+
1
4
F
λ
(
1
)
λ
2
+
1
16
λ
4
,
F
m
(
1
)
=
∑
l
,
k
≥
0
l
+
k
=
m
-
2
(
-
〈
Λ
j
q
1
,
p
1
〉
〈
Λ
k
q
1
,
p
1
〉
-
〈
Λ
j
q
2
,
p
2
〉
〈
Λ
k
q
2
,
p
2
〉
=
∑
l
,
k
≥
0
l
+
k
=
m
-
2
m
+
〈
Λ
j
p
1
,
p
1
〉
〈
Λ
k
p
1
,
p
1
〉
=
∑
l
,
k
≥
0
l
+
k
=
m
-
2
m
+
〈
Λ
j
p
2
,
p
1
〉
〈
Λ
k
q
2
,
q
2
〉
+
2
〈
Λ
j
p
1
,
p
2
〉
=
∑
l
,
k
≥
0
l
+
k
=
m
-
2
m
×
〈
Λ
k
q
1
,
q
2
〉
-
2
〈
Λ
j
q
1
,
p
2
〉
〈
Λ
k
q
2
,
p
1
〉
)
+
〈
q
1
,
p
1
〉
〈
Λ
m
-
1
p
1
,
p
1
〉
+
〈
q
2
,
p
2
〉
〈
Λ
m
-
1
p
2
,
p
2
〉
+
2
〈
q
1
,
p
2
〉
〈
Λ
m
-
1
p
1
,
p
2
〉
+
〈
Λ
m
-
1
q
1
,
q
1
〉
+
〈
Λ
m
-
1
q
2
,
q
2
〉
-
〈
Λ
m
q
1
,
p
2
〉
-
〈
Λ
m
q
2
,
p
2
〉
,
F
m
(
2
)
=
∑
j
,
k
,
s
,
i
≥
0
k
+
j
+
s
+
i
=
m
-
4
|
〈
Λ
k
q
1
,
p
1
〉
〈
Λ
k
p
1
,
p
2
〉
〈
Λ
k
p
1
,
p
1
〉
〈
Λ
k
q
2
,
p
1
〉
〈
Λ
j
q
1
,
q
2
〉
〈
Λ
j
q
2
,
p
2
〉
〈
Λ
j
q
2
,
p
1
〉
〈
Λ
j
q
2
,
q
2
〉
〈
Λ
i
q
1
,
q
1
〉
〈
Λ
i
q
1
,
p
2
〉
〈
Λ
i
q
1
,
p
1
〉
〈
Λ
i
q
1
,
q
2
〉
〈
Λ
s
q
1
,
p
2
〉
〈
Λ
s
p
2
,
p
2
〉
〈
Λ
s
p
1
,
p
2
〉
〈
Λ
s
q
2
,
p
2
〉
|
+
∑
j
,
k
,
s
≥
0
k
+
j
+
s
=
m
-
2
(
|
〈
Λ
j
q
2
,
p
2
〉
〈
Λ
j
q
2
,
p
1
〉
〈
Λ
j
q
2
,
q
2
〉
〈
Λ
k
q
1
,
p
2
〉
〈
Λ
k
q
1
,
p
1
〉
〈
Λ
k
q
1
,
q
2
〉
〈
Λ
s
p
2
,
p
2
〉
〈
Λ
s
p
1
,
p
2
〉
〈
Λ
s
q
2
,
p
2
〉
|
+
∑
j
,
k
,
s
≥
0
k
+
j
+
s
=
m
-
2
im
+
|
〈
Λ
k
q
1
,
p
1
〉
〈
Λ
k
p
1
,
p
1
〉
〈
Λ
k
q
2
,
p
1
〉
〈
Λ
j
q
1
,
q
1
〉
〈
Λ
j
q
1
,
p
1
〉
〈
Λ
j
q
1
,
q
2
〉
〈
Λ
s
q
1
,
p
2
〉
〈
Λ
s
p
1
,
p
2
〉
〈
Λ
s
q
2
,
p
2
〉
|
)
+
∑
j
,
k
,
s
≥
0
k
+
j
+
s
=
m
-
3
(
|
〈
Λ
j
q
1
,
q
2
〉
〈
Λ
j
q
2
,
p
2
〉
〈
Λ
j
q
2
,
q
2
〉
〈
Λ
k
q
1
,
q
1
〉
〈
Λ
k
q
1
,
p
2
〉
〈
Λ
k
q
1
,
q
2
〉
〈
Λ
s
q
1
,
p
2
〉
〈
Λ
s
p
2
,
p
2
〉
〈
Λ
s
q
2
,
p
2
〉
|
+
∑
j
,
k
,
s
≥
0
k
+
j
+
s
=
m
-
2
im
+
|
〈
Λ
k
q
1
,
p
1
〉
〈
Λ
k
p
1
,
p
1
〉
〈
Λ
k
q
2
,
p
1
〉
〈
Λ
j
q
1
,
q
2
〉
〈
Λ
j
q
2
,
p
1
〉
〈
Λ
j
q
2
,
q
2
〉
〈
Λ
s
q
1
,
q
1
〉
〈
Λ
s
q
1
,
p
1
〉
〈
Λ
s
q
1
,
q
2
〉
|
+
∑
j
,
k
,
s
≥
0
k
+
j
+
s
=
m
-
2
im
+
〈
q
2
,
p
2
〉
+
∑
j
,
k
,
s
≥
0
k
+
j
+
s
=
m
-
2
im
×
|
〈
Λ
k
q
1
,
p
1
〉
〈
Λ
k
p
1
,
p
2
〉
〈
Λ
k
p
1
,
p
1
〉
〈
Λ
j
q
1
,
q
1
〉
〈
Λ
j
q
1
,
p
2
〉
〈
Λ
j
q
1
,
p
1
〉
〈
Λ
s
q
1
,
p
2
〉
〈
Λ
s
p
2
,
p
2
〉
〈
Λ
s
p
1
,
p
2
〉
|
+
∑
j
,
k
,
s
≥
0
k
+
j
+
s
=
m
-
2
im
+
〈
q
1
,
p
1
〉
+
∑
j
,
k
,
s
≥
0
k
+
j
+
s
=
m
-
2
im
×
|
〈
Λ
k
p
1
,
p
2
〉
〈
Λ
k
p
1
,
p
1
〉
〈
Λ
k
q
2
,
p
1
〉
〈
Λ
j
q
2
,
p
2
〉
〈
Λ
j
q
2
,
p
1
〉
〈
Λ
j
q
2
,
q
2
〉
〈
Λ
s
p
2
,
p
2
〉
〈
Λ
s
p
1
,
p
2
〉
〈
Λ
s
q
2
,
p
2
〉
|
+
∑
j
,
k
,
s
≥
0
k
+
j
+
s
=
m
-
2
im
-
2
〈
q
1
,
p
2
〉
+
∑
j
,
k
,
s
≥
0
k
+
j
+
s
=
m
-
2
im
×
|
〈
Λ
k
p
1
,
p
2
〉
〈
Λ
k
p
1
,
p
1
〉
〈
Λ
k
q
2
,
p
1
〉
〈
Λ
j
q
1
,
p
2
〉
〈
Λ
j
q
1
,
p
1
〉
〈
Λ
j
q
1
,
q
2
〉
〈
Λ
s
p
2
,
p
2
〉
〈
Λ
s
p
1
,
p
2
〉
〈
Λ
s
q
2
,
p
2
〉
|
)
+
∑
k
,
s
≥
0
k
+
s
=
m
-
2
[
〈
Λ
k
q
1
,
q
1
〉
〈
Λ
s
q
1
,
q
1
〉
+
∑
k
,
s
≥
0
k
+
s
=
m
-
2
m
-
〈
Λ
k
q
1
,
q
2
〉
〈
Λ
s
q
1
,
q
2
〉
+
2
〈
q
1
,
p
2
〉
+
∑
k
,
s
≥
0
k
+
s
=
m
-
2
m
×
(
〈
Λ
k
q
1
,
p
1
〉
〈
Λ
s
q
2
,
p
1
〉
-
〈
Λ
k
p
1
,
p
1
〉
+
∑
k
,
s
≥
0
k
+
s
=
m
-
2
mm
+
×
〈
Λ
s
q
1
,
q
2
〉
+
〈
Λ
k
q
2
,
p
2
〉
〈
Λ
s
q
1
,
p
2
〉
+
∑
k
,
s
≥
0
k
+
s
=
m
-
2
mm
+
-
〈
Λ
k
q
1
,
q
2
〉
〈
Λ
s
p
2
,
p
2
〉
)
-
〈
q
1
,
p
1
〉
+
∑
k
,
s
≥
0
k
+
s
=
m
-
2
mi
×
(
〈
Λ
k
q
2
,
p
1
〉
〈
Λ
s
q
2
,
p
1
〉
-
〈
Λ
k
p
1
,
p
1
〉
+
∑
k
,
s
≥
0
k
+
s
=
m
-
2
mmi
-
×
〈
Λ
s
q
2
,
q
2
〉
+
〈
Λ
k
q
2
,
p
2
〉
〈
Λ
s
q
2
,
p
2
〉
+
∑
k
,
s
≥
0
k
+
s
=
m
-
2
mmi
-
-
〈
Λ
k
q
2
,
q
2
〉
〈
Λ
s
p
2
,
p
2
〉
)
-
〈
q
2
,
p
2
〉
+
∑
k
,
s
≥
0
k
+
s
=
m
-
2
mi
×
(
〈
Λ
k
q
1
,
p
1
〉
〈
Λ
s
q
1
,
p
1
〉
-
〈
Λ
k
p
1
,
p
1
〉
+
∑
k
,
s
≥
0
k
+
s
=
m
-
2
mi
-
i
×
〈
Λ
s
q
1
,
q
1
〉
+
〈
Λ
k
q
1
,
p
2
〉
〈
Λ
s
q
1
,
p
2
〉
+
∑
k
,
s
≥
0
k
+
s
=
m
-
2
mi
-
i
-
〈
Λ
k
q
1
,
q
1
〉
〈
Λ
s
p
2
,
p
2
〉
)
+
∑
k
,
s
≥
0
k
+
s
=
m
-
2
mi
+
(
〈
q
1
,
p
2
〉
2
-
〈
q
1
,
p
1
〉
〈
q
2
,
q
2
〉
)
+
∑
k
,
s
≥
0
k
+
s
=
m
-
2
mi
×
(
〈
Λ
k
p
1
,
p
2
〉
〈
Λ
s
p
1
,
p
2
〉
+
∑
k
,
s
≥
0
k
+
s
=
m
-
2
mi
×
i
-
〈
Λ
k
p
1
,
p
1
〉
〈
Λ
s
p
2
,
p
2
〉
)
]
+
∑
k
,
s
≥
0
k
+
s
=
m
-
1
[
〈
Λ
k
q
1
,
q
2
〉
〈
Λ
s
q
2
,
p
1
〉
+
∑
k
,
s
≥
0
k
+
s
=
m
-
1
mi
-
〈
Λ
k
q
1
,
p
1
〉
〈
Λ
s
q
2
,
q
2
〉
+
∑
k
,
s
≥
0
k
+
s
=
m
-
1
mi
+
〈
Λ
k
q
1
,
q
2
〉
〈
Λ
s
q
1
,
p
2
〉
+
∑
k
,
s
≥
0
k
+
s
=
m
-
1
mi
-
〈
Λ
k
q
2
,
p
2
〉
〈
Λ
s
q
1
,
q
1
〉
+
〈
q
1
,
p
2
〉
+
∑
k
,
s
≥
0
k
+
s
=
m
-
1
mi
×
(
〈
Λ
k
q
1
,
p
2
〉
〈
Λ
s
p
1
,
p
1
〉
+
∑
k
,
s
≥
0
k
+
s
=
m
-
1
mmi
×
-
〈
Λ
k
q
1
,
p
1
〉
〈
Λ
s
p
1
,
p
2
〉
+
∑
k
,
s
≥
0
k
+
s
=
m
-
1
mmi
×
+
〈
Λ
k
q
2
,
p
1
〉
〈
Λ
s
p
2
,
p
2
〉
+
∑
k
,
s
≥
0
k
+
s
=
m
-
1
mmi
×
-
〈
Λ
k
p
1
,
p
2
〉
〈
Λ
s
p
1
,
p
2
〉
)
+
∑
k
,
s
≥
0
k
+
s
=
m
-
1
mi
-
〈
q
1
,
p
1
〉
(
〈
Λ
k
q
2
,
p
2
〉
〈
Λ
s
p
1
,
p
1
〉
+
∑
k
,
s
≥
0
k
+
s
=
m
-
1
mi
-
〈
q
1
,
p
1
〉
-
〈
Λ
k
p
1
,
p
2
〉
〈
Λ
s
q
2
,
p
1
〉
)
+
∑
k
,
s
≥
0
k
+
s
=
m
-
1
mi
+
〈
q
2
,
p
2
〉
(
〈
Λ
k
p
1
,
p
2
〉
〈
Λ
s
q
1
,
p
2
〉
+
∑
k
,
s
≥
0
k
+
s
=
m
-
1
mi
+
〈
q
2
,
p
2
〉
-
〈
Λ
k
q
1
,
p
1
〉
〈
Λ
s
p
2
,
p
2
〉
)
]
+
∑
k
,
s
≥
0
k
+
s
=
m
(
〈
Λ
k
q
1
,
p
1
〉
〈
Λ
s
q
2
,
p
2
〉
m
m
m
m
n
m
-
〈
Λ
k
q
2
,
p
1
〉
〈
Λ
s
q
1
,
p
2
〉
)
+
〈
q
1
,
p
2
〉
(
〈
Λ
m
q
1
,
p
2
〉
-
〈
Λ
m
q
2
,
p
1
〉
)
-
〈
q
1
,
p
1
〉
〈
Λ
m
q
2
,
p
2
〉
-
〈
q
2
,
p
2
〉
〈
Λ
m
q
1
,
p
1
〉
-
2
〈
q
1
,
p
2
〉
〈
Λ
m
-
1
q
1
,
p
2
〉
-
〈
Λ
m
q
1
,
q
2
〉
+
〈
q
1
,
p
1
〉
〈
Λ
m
-
1
q
2
,
q
2
〉
+
〈
q
2
,
p
2
〉
〈
Λ
m
-
1
q
1
,
q
1
〉
-
(
〈
q
1
,
p
2
〉
2
-
〈
q
1
,
p
1
〉
〈
q
2
,
q
2
〉
)
×
(
〈
Λ
m
-
1
p
1
,
p
1
〉
+
〈
Λ
m
-
1
p
2
,
p
2
〉
)
,
m
≥
1
.
In the above equations, the Poisson bracket of two functions is defined as
(19)
{
f
,
g
}
=
∑
j
=
1
N
∑
i
=
1
2
(
∂
f
∂
q
j
i
∂
g
∂
p
j
i
-
∂
g
∂
q
j
i
∂
f
∂
p
j
i
)
=
∑
i
=
1
2
(
〈
∂
f
∂
q
i
,
∂
g
∂
p
i
〉
-
〈
∂
g
∂
q
i
,
∂
f
∂
p
i
〉
)
.
Then we can prove the following assertions.
Proposition 1.
The functions
{
F
m
(
i
)
∣
i
=
1,2
,
m
≥
1
}
are in involution in pairs; that is,
(20)
{
F
m
(
i
)
,
F
l
(
j
)
}
=
0
,
∀
m
,
l
≥
1
,
1
≤
i
,
j
≤
2
.
Proof.
Through tedious calculation we can obtain
(21)
{
F
λ
(
1
)
,
F
μ
(
1
)
}
=
{
F
λ
(
1
)
,
F
μ
(
2
)
}
=
{
F
λ
(
2
)
,
F
μ
(
2
)
}
=
0
,
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
∀
λ
,
μ
∈
C
.
Then we have
(22)
{
F
λ
(
1
)
,
F
μ
(
1
)
}
=
{
F
λ
(
1
)
,
F
^
μ
(
2
)
}
=
{
F
^
λ
(
2
)
,
F
^
μ
(
2
)
}
=
0
,
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
∀
λ
,
μ
∈
C
.
Then relation (20) follows by comparison of power of
λ
N
in (22) with (17) taken into account.
Proposition 2.
The
2
N
1-forms
d
F
j
(
i
)
(
1
≤
j
≤
N
,
i
=
1,2
)
are linearly independent.
Proof.
Assuming that there exist
2
N
constants
b
l
(
i
)
, so that
(23)
∑
j
=
1
N
(
b
j
(
1
)
∂
F
j
(
1
)
∂
q
i
+
b
j
(
2
)
∂
F
j
(
2
)
∂
q
i
)
=
0
,
i
=
1,2
.
It is easy to obtain
(24)
∂
F
j
(
1
)
∂
q
1
|
(
p
1
,
p
2
,
q
2
)
=
0
=
2
Λ
j
-
1
q
1
,
∂
F
j
(
2
)
∂
q
1
|
(
p
1
,
p
2
,
q
2
)
=
0
=
0
,
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
1
≤
j
≤
N
.
Then we have
(25)
∑
j
=
1
N
b
j
(
1
)
λ
k
j
-
1
=
0
,
1
≤
k
≤
N
,
which gives rise to
b
j
(
1
)
=
0
,
1
≤
j
≤
N
, by utilizing the fact that the Vandermonde determinant is not zero. Therefore, (23) is reduced to
(26)
∑
j
=
1
N
b
j
(
2
)
∂
F
j
(
2
)
∂
q
i
=
0
,
i
=
1,2
.
Take
P
0
∈
R
4
N
with the coordinates
q
2
=
p
1
=
0
,
q
1
=
O
(
ɛ
)
, and
p
2
=
O
(
ɛ
)
, where
ɛ
is a small real number. Then, at
P
0
,
(27)
∂
F
j
(
1
)
∂
q
1
|
P
0
=
〈
Λ
j
q
1
,
p
2
〉
p
2
+
〈
q
1
,
p
2
〉
Λ
j
p
2
-
2
〈
q
1
,
p
2
〉
〈
Λ
j
-
1
p
2
,
p
2
〉
p
2
=
〈
Λ
j
q
1
,
p
2
〉
p
2
+
〈
q
1
,
p
2
〉
Λ
j
p
2
+
O
(
ɛ
5
)
,
and the determinant of the coefficients of the linear system of equations
(28)
∑
j
=
1
N
b
j
(
2
)
∂
F
j
(
2
)
∂
q
k
1
=
0
,
1
≤
k
≤
N
,
is
(29)
A
=
|
〈
Λ
q
1
,
p
2
〉
p
1
2
+
〈
q
1
,
p
2
〉
λ
1
p
1
2
〈
Λ
2
q
1
,
p
2
〉
p
1
2
+
〈
q
1
,
p
2
〉
λ
1
2
p
1
2
⋯
〈
Λ
N
q
1
,
p
2
〉
p
1
2
+
〈
q
1
,
p
2
〉
λ
1
N
p
1
2
〈
Λ
q
1
,
p
2
〉
p
2
2
+
〈
q
1
,
p
2
〉
λ
2
p
2
2
〈
Λ
2
q
1
,
p
2
〉
p
2
2
+
〈
q
1
,
p
2
〉
λ
2
2
p
2
2
⋯
〈
Λ
N
q
1
,
p
2
〉
p
2
2
+
〈
q
1
,
p
2
〉
λ
2
N
p
2
2
⋮
⋮
⋱
⋮
〈
Λ
q
1
,
p
2
〉
p
N
2
+
〈
q
1
,
p
2
〉
λ
N
p
N
2
〈
Λ
2
q
1
,
p
2
〉
p
N
2
+
〈
q
1
,
p
2
〉
λ
N
2
p
N
2
⋯
〈
Λ
N
q
1
,
p
2
〉
p
N
2
+
〈
q
1
,
p
2
〉
λ
N
N
p
N
2
|
+
O
(
ɛ
5
N
)
=
∏
j
=
1
N
p
j
2
|
〈
Λ
q
1
,
p
2
〉
+
〈
q
1
,
p
2
〉
λ
1
〈
Λ
2
q
1
,
p
2
〉
+
〈
q
1
,
p
2
〉
λ
1
2
⋯
〈
Λ
N
q
1
,
p
2
〉
+
〈
q
1
,
p
2
〉
λ
1
N
〈
q
1
,
p
2
〉
(
λ
2
-
λ
1
)
〈
q
1
,
p
2
〉
(
λ
2
2
-
λ
1
2
)
⋯
〈
q
1
,
p
2
〉
(
λ
2
N
-
λ
1
N
)
⋮
⋮
⋱
⋮
〈
q
1
,
p
2
〉
(
λ
N
-
λ
1
)
〈
q
1
,
p
2
〉
(
λ
N
2
-
λ
1
2
)
⋯
〈
q
1
,
p
2
〉
(
λ
N
N
-
λ
1
N
)
|
+
O
(
ɛ
5
N
)
=
∏
j
=
1
N
p
j
2
(
〈
q
1
,
p
2
〉
N
-
1
|
〈
Λ
q
1
,
p
2
〉
〈
Λ
2
q
1
,
p
2
〉
⋯
〈
Λ
N
q
1
,
p
2
〉
λ
2
-
λ
1
λ
2
2
-
λ
1
2
⋯
λ
2
N
-
λ
1
N
⋮
⋮
⋱
⋮
λ
N
-
λ
1
λ
N
2
-
λ
1
2
⋯
λ
N
N
-
λ
1
N
|
+
〈
q
1
,
p
2
〉
N
|
λ
1
λ
1
2
⋯
λ
1
N
λ
2
λ
2
2
⋯
λ
2
N
⋮
⋮
⋱
⋮
λ
N
λ
N
2
⋯
λ
N
N
|
)
+
O
(
ɛ
5
N
)
,
where
(30)
|
〈
Λ
q
1
,
p
2
〉
〈
Λ
2
q
1
,
p
2
〉
⋯
〈
Λ
N
q
1
,
p
2
〉
λ
2
-
λ
1
λ
2
2
-
λ
1
2
⋯
λ
2
N
-
λ
1
N
⋮
⋮
⋱
⋮
λ
N
-
λ
1
λ
N
2
-
λ
1
2
⋯
λ
N
N
-
λ
1
N
|
=
|
1
λ
1
λ
1
2
⋯
λ
1
N
0
〈
Λ
q
1
,
p
2
〉
〈
Λ
2
q
1
,
p
2
〉
⋯
〈
Λ
N
q
1
,
p
2
〉
1
λ
2
λ
2
2
⋯
λ
2
N
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
1
λ
N
λ
N
2
⋯
λ
N
N
|
=
|
1
λ
1
λ
1
2
⋯
λ
1
N
-
〈
q
1
,
p
2
〉
0
0
⋯
0
1
λ
2
λ
2
2
⋯
λ
2
N
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
1
λ
N
λ
N
2
⋯
λ
N
N
|
=
〈
q
1
,
p
2
〉
∏
i
>
j
i
,
j
=
1
N
(
λ
i
-
λ
j
)
.
Therefore,
(31)
A
=
2
〈
q
1
,
p
2
〉
N
(
∏
j
=
1
N
p
j
2
)
(
∏
i
>
j
i
,
j
=
1
N
(
λ
i
-
λ
j
)
)
+
O
(
ɛ
5
N
)
≠
0
.
Then we obtain
b
j
(
2
)
=
0
,
1
≤
j
≤
N
. The proof is complete.
Combining Propositions 1 and 2, we have immediately the following conclusions.
Proposition 3.
The symplectic map of the Bargmann type defined by (10) is completely integrable in the Liouville sense.
Proposition 4.
The systems defined as follows are completely integrable in the Liouville sense:
(32)
∂
q
i
∂
t
=
∂
F
m
(
1
)
∂
p
i
,
∂
p
i
∂
t
=
-
∂
F
m
(
1
)
∂
q
i
,
m
≥
1
,
i
=
1,2
.
4. The Representation of Solutions
Consider the following initial value problem:
(33)
m
q
t
i
=
∂
H
1
∂
p
i
,
p
t
i
=
-
∂
H
1
∂
q
i
,
(
q
i
,
p
i
)
|
t
=
0
=
(
q
i
(
0
)
,
p
i
(
0
)
)
,
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
i
=
1,2
,
where
H
1
=
-
(
1
/
2
)
F
1
(
1
)
. In fact, the first two equations in (33) are
(34)
q
t
1
=
1
2
(
Λ
-
〈
p
1
,
p
1
〉
)
q
1
-
〈
q
1
,
p
1
〉
p
1
-
〈
q
1
,
p
2
〉
p
2
,
q
t
2
=
-
〈
p
1
,
p
2
〉
q
1
+
1
2
(
Λ
-
〈
p
2
,
p
2
〉
)
q
2
q
t
2
=
-
〈
q
1
,
p
2
〉
p
1
-
〈
q
2
,
p
2
〉
p
2
,
p
t
1
=
q
1
+
1
2
(
〈
p
1
,
p
1
〉
-
Λ
)
p
1
+
〈
p
1
,
p
2
〉
p
2
,
p
t
2
=
q
2
+
1
2
(
〈
p
2
,
p
2
〉
-
Λ
)
p
2
.
Then we can obtain the presentation of solutions for the lattice equation (4).
Proposition 5.
Let
q
i
(
t
)
and
p
i
(
t
)
(
1
≤
i
≤
3
)
be a solution of (33); define
(35)
(
q
1
(
n
,
t
)
,
q
2
(
n
,
t
)
,
p
1
(
n
,
t
)
,
p
2
(
n
,
t
)
)
=
H
n
(
q
1
(
t
)
,
q
2
(
t
)
,
p
1
(
t
)
,
p
2
(
t
)
)
.
Then
(36)
a
n
=
〈
p
1
,
p
2
〉
,
b
n
=
〈
p
2
,
p
2
〉
,
c
n
=
(
-
〈
p
1
,
p
2
〉
2
-
〈
q
2
,
p
2
〉
+
〈
Λ
p
2
,
p
2
〉
-
〈
p
2
,
p
2
〉
2
)
1
/
2
,
and solve the lattice equation (4).
Proof.
It is easy to see that (35) is equivalent to (12), that is, (10) with
(
q
i
(
0
,
t
)
,
p
i
(
0
,
t
)
)
=
(
q
i
(
t
)
,
p
i
(
t
)
)
. Using (33), (36), and (10), a direct calculation shows that
(37)
a
n
,
t
=
1
2
〈
p
1
,
p
2
〉
(
〈
p
1
,
p
1
〉
+
〈
p
2
,
p
2
〉
)
+
〈
p
2
,
p
2
〉
〈
p
1
,
p
2
〉
a
n
,
t
=
+
〈
q
1
,
p
2
〉
+
〈
q
2
,
p
1
〉
-
〈
Λ
p
1
,
p
2
〉
a
n
,
t
=
1
2
(
E
-
1
c
n
-
c
n
E
)
(
2
〈
p
1
,
p
2
〉
)
+
1
2
a
n
(
1
-
E
)
〈
p
2
,
p
2
〉
,
b
n
,
t
=
〈
p
2
,
p
2
〉
〈
p
2
,
p
2
〉
+
2
〈
Λ
q
2
,
p
2
〉
-
〈
p
2
,
p
2
〉
b
n
,
t
=
1
2
(
E
-
1
-
1
)
a
n
(
2
〈
p
1
,
p
2
〉
)
+
(
E
-
2
-
1
)
b
n
,
t
=
×
(
-
a
n
〈
p
1
,
p
2
〉
-
〈
q
2
,
p
2
〉
+
〈
Λ
p
2
,
p
2
〉
-
b
n
〈
p
2
,
p
2
〉
)
,
c
n
,
t
=
1
2
(
-
〈
p
1
,
p
2
〉
2
-
〈
q
2
,
p
2
〉
+
〈
Λ
p
2
,
p
2
〉
-
〈
p
2
,
p
2
〉
2
)
-
1
/
2
c
n
,
t
=
×
[
-
〈
p
2
,
p
2
〉
(
〈
p
1
,
p
2
〉
2
+
〈
q
2
,
p
2
〉
-
〈
Λ
p
2
,
p
2
〉
W
W
m
W
W
W
W
W
W
+
2
〈
p
2
,
p
2
〉
2
)
-
〈
p
1
,
p
2
〉
WnWW
×
(
〈
p
1
,
p
2
〉
〈
p
1
,
p
1
〉
+
2
〈
p
2
,
p
2
〉
〈
p
1
,
p
2
〉
W
W
W
W
W
-
2
〈
Λ
p
1
,
p
2
〉
+
2
〈
q
2
,
p
1
〉
)
-
2
〈
p
2
,
p
2
〉
WnWW
×
(
〈
Λ
q
2
,
p
2
〉
-
〈
Λ
p
2
,
p
2
〉
)
WnWW
-
〈
q
2
,
q
2
〉
+
2
〈
Λ
q
2
,
p
2
〉
-
〈
Λ
2
p
2
,
p
2
〉
]
c
n
,
t
=
1
2
c
n
(
1
-
E
2
)
〈
p
2
,
p
2
〉
.
Therefore, we have
(38)
∂
∂
t
(
a
n
,
b
n
,
c
n
)
T
=
J
n
∑
j
=
1
N
∇
λ
j
=
J
n
G
n
(
0
)
,
where
(39)
J
n
=
(
1
2
(
E
-
1
c
n
-
c
n
E
)
1
2
a
n
(
1
-
E
)
0
1
2
(
E
-
1
-
1
)
a
n
0
1
2
(
E
-
2
-
1
)
c
n
0
1
2
c
n
(
1
-
E
2
)
0
)
.
Then (38) is equivalent to the generalization of Toda lattice equation (4). This proves Proposition 5.