Proof of Theorem 1.
If we let
u
(
x
,
y
)
=
w
(
x
,
y
)
F
(
x
,
y
)
p
and in view of
(17)
F
(
x
,
y
)
=
1
r
(
x
,
y
)
∫
a
x
∫
c
y
r
(
s
,
t
)
h
(
s
,
t
)
f
(
s
,
t
)
d
s
d
t
for
(
x
,
y
)
∈
(
a
,
b
)
×
(
c
,
d
)
, then
(18)
∂
u
(
x
,
y
)
∂
x
=
∂
w
(
x
,
y
)
∂
x
F
(
x
,
y
)
p
+
w
(
x
,
y
)
p
F
(
x
,
y
)
p
-
1
×
(
1
r
(
x
,
y
)
∫
c
y
r
(
x
,
t
)
h
(
x
,
t
)
f
(
x
,
t
)
d
t
llllllllllllll
-
∂
r
(
x
,
y
)
/
∂
x
r
2
(
x
,
y
)
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
×
∫
a
x
∫
c
y
r
(
s
,
t
)
h
(
s
,
t
)
f
(
s
,
t
)
d
s
d
t
∂
r
(
x
,
y
)
/
∂
x
r
2
(
x
,
y
)
)
.
Let
(19)
∂
v
(
x
,
y
)
∂
x
=
H
(
x
,
y
)
-
1
h
¯
(
x
,
y
)
[
log
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
]
-
q
,
where
h
¯
(
x
,
y
)
=
∫
c
y
h
(
x
,
t
)
d
t
and in view of
H
(
x
,
y
)
=
∫
a
x
∫
c
y
h
(
s
,
t
)
d
s
d
t
, for
(
x
,
y
)
∈
(
a
,
b
)
×
(
c
,
d
)
, then
(20)
v
(
x
,
y
)
=
-
[
log
(
H
(
R
,
R
′
)
/
H
(
x
,
y
)
)
]
-
q
+
1
(
-
q
+
1
)
.
From (18), (20), and integrating by parts for
x
, we have
(21)
∫
c
d
∫
a
b
w
(
x
,
y
)
H
(
x
,
y
)
-
1
h
¯
(
x
,
y
)
×
(
log
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
)
-
q
F
(
x
,
y
)
p
d
x
d
y
=
-
∫
c
d
{
[
log(
H
(
R
,
R
′
)
/
H
(
x
,
y
)
]
-
q
+
1
-
q
+
1
|
x
=
a
x
=
b
w
(
x
,
y
)
F
(
x
,
y
)
p
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
×
[
log
(
H
(
R
,
R
′
)
/
H
(
x
,
y
)
)
]
-
q
+
1
-
q
+
1
|
x
=
a
x
=
b
lllllllllllllllllllllll
-
∫
a
b
[
log
(
H
(
R
,
R
′
)
/
H
(
x
,
y
)
)
]
-
q
+
1
-
q
+
1
lllllllllllllllllllllllllllllllll
×
[
∂
w
(
x
,
y
)
∂
x
F
(
x
,
y
)
p
lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll
+
w
(
x
,
y
)
p
F
(
x
,
y
)
p
-
1
lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll
×
(
G
(
x
,
y
)
-
∂
r
(
x
,
y
)
/
∂
x
r
2
(
x
,
y
)
lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll
×
∫
a
x
∫
c
y
r
(
s
,
t
)
h
(
s
,
t
)
llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll
×
f
(
s
,
t
)
d
s
d
t
∂
r
(
x
,
y
)
/
∂
x
r
2
(
x
,
y
)
)
]
d
x
[
log(
H
(
R
,
R
′
)
/
H
(
x
,
y
)
]
-
q
+
1
-
q
+
1
|
x
=
a
x
=
b
}
d
y
,
where
(22)
G
(
x
,
y
)
=
1
r
(
x
,
y
)
∫
c
y
r
(
x
,
t
)
h
(
x
,
t
)
f
(
x
,
t
)
d
t
.
If
q
<
1
, then we observe that
(23)
∫
c
d
∫
a
b
D
(
x
,
y
)
w
(
x
,
y
)
H
(
x
,
y
)
-
1
h
¯
(
x
,
y
)
×
(
log
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
)
-
q
F
(
x
,
y
)
p
d
x
d
y
≤
p
1
-
q
∫
c
d
∫
a
b
[
w
(
x
,
y
)
(
log
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
)
-
q
+
1
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
×
G
(
x
,
y
)
F
(
x
,
y
)
p
-
1
(
log
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
)
-
q
+
1
]
d
x
d
y
=
p
1
-
q
×
∫
c
d
∫
a
b
[
{
(
log
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
)
-
q
}
1
/
p
lllllllllllllllllllllllll
×
log
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
w
(
x
,
y
)
1
/
p
lllllllllllllllllllllllll
×
H
(
x
,
y
)
(
p
-
1
)
/
p
×
h
(
x
,
y
)
-
(
p
-
1
)
/
p
G
(
x
,
y
)
{
(
log
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
)
-
q
}
1
/
p
]
×
[
{
(
log
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
)
-
q
}
(
p
-
1
)
/
p
×
w
(
x
,
y
)
(
p
-
1
)
/
p
×
[
H
(
x
,
y
)
-
1
×
h
(
x
,
y
)
]
(
p
-
1
)
/
p
×
F
(
x
,
y
)
p
-
1
{
(
log
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
)
-
q
}
(
p
-
1
)
/
p
]
d
x
d
y
.
By applying Hölder’s inequality with indices
p
,
p
/
(
p
-
1
)
on the right side of (23), we obtain
(24)
∫
c
d
∫
a
b
w
(
x
,
y
)
H
(
x
,
y
)
-
1
h
¯
(
x
,
y
)
×
(
log
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
)
-
q
F
(
x
,
y
)
p
d
x
d
y
≤
α
(
p
1
-
q
)
×
{
∫
c
d
∫
a
b
[
(
log
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
)
-
q
×
(
log
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
)
p
×
w
(
x
,
y
)
H
(
x
,
y
)
p
-
1
×
h
(
x
,
y
)
-
(
p
-
1
)
G
(
x
,
y
)
p
(
log
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
)
-
q
]
d
x
d
y
}
1
/
p
×
{
∫
c
d
∫
a
b
[
(
log
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
)
-
q
w
(
x
,
y
)
H
(
x
,
y
)
-
1
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
×
h
(
x
,
y
)
F
(
x
,
y
)
p
(
log
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
)
-
q
]
d
x
d
y
}
(
p
-
1
)
/
p
.
Dividing both sides of (24) by the second integral factor on the right side of (24) and raising both sides to the
p
th power, we obtain
(25)
∫
c
d
∫
a
b
w
(
x
,
y
)
H
(
x
,
y
)
-
1
h
¯
(
x
,
y
)
×
(
log
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
)
-
q
F
(
x
,
y
)
p
d
x
d
y
≤
[
α
(
p
1
-
q
)
]
p
×
∫
c
d
∫
a
b
[
(
log
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
)
p
-
q
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
×
w
(
x
,
y
)
H
(
x
,
y
)
p
-
1
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
×
h
(
x
,
y
)
-
(
p
-
1
)
G
(
x
,
y
)
p
(
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
)
p
-
q
]
d
x
d
y
.
Proof of Theorem 3.
If we let
u
(
x
,
y
)
=
w
(
x
,
y
)
F
(
x
,
y
)
p
and in view of
(26)
F
(
x
,
y
)
=
1
r
(
x
,
y
)
∫
x
b
∫
y
d
r
(
s
,
t
)
h
(
s
,
t
)
f
(
s
,
t
)
d
s
d
t
for
(
x
,
y
)
∈
(
a
,
b
)
×
(
c
,
d
)
, then
(27)
∂
u
(
x
,
y
)
∂
y
=
∂
w
(
x
,
y
)
∂
y
F
(
x
,
y
)
p
+
w
(
x
,
y
)
p
F
(
x
,
y
)
p
-
1
×
(
-
1
r
(
x
,
y
)
∫
y
d
r
(
x
,
t
)
h
(
x
,
t
)
f
(
x
,
t
)
d
t
llllllllllllllll
-
∂
r
(
x
,
y
)
/
∂
y
r
2
(
x
,
y
)
∫
x
b
∫
y
d
r
(
s
,
t
)
h
(
s
,
t
)
f
(
s
,
t
)
d
s
d
t
)
.
Let
(28)
∂
v
(
x
,
y
)
∂
y
=
H
(
x
,
y
)
-
1
h
~
(
x
,
y
)
[
log
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
]
-
q
,
where
h
~
(
x
,
y
)
=
∫
a
x
h
(
s
,
y
)
d
s
and in view of
H
(
x
,
y
)
=
∫
a
x
∫
c
y
h
(
s
,
t
)
d
s
d
t
, for
(
x
,
y
)
∈
(
a
,
b
)
×
(
c
,
d
)
, then
(29)
v
(
x
,
y
)
=
-
[
log
(
H
(
R
,
R
′
)
/
H
(
x
,
y
)
)
]
-
q
+
1
(
-
q
+
1
)
.
From (27), (29), and integrating by parts for
y
, we have
(30)
∫
c
d
∫
a
b
w
(
x
,
y
)
H
(
x
,
y
)
-
1
h
~
(
x
,
y
)
×
(
log
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
)
-
q
F
(
x
,
y
)
p
d
x
d
y
=
-
∫
a
b
{
×
[
log
(
H
(
R
,
R
′
)
/
H
(
x
,
y
)
]
-
q
+
1
-
q
+
1
|
y
=
c
y
=
d
w
(
x
,
y
)
F
(
x
,
y
)
p
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
×
[
log
(
H
(
R
,
R
′
)
/
H
(
x
,
y
)
)
]
-
q
+
1
-
q
+
1
|
y
=
c
y
=
d
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
-
∫
c
d
[
log
(
H
(
R
,
R
′
)
/
H
(
x
,
y
)
)
]
-
q
+
1
-
q
+
1
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
×
[
∂
w
(
x
,
y
)
∂
y
F
(
x
,
y
)
p
lllllllllllllllllllllllllllllllllllllll
+
w
(
x
,
y
)
p
F
(
x
,
y
)
p
-
1
llllllllllllllllllllllllllllllllllllllll
×
(
L
(
x
,
y
)
-
∂
r
(
x
,
y
)
∂
y
r
2
(
x
,
y
)
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
×
∫
x
b
∫
y
d
r
(
s
,
t
)
h
(
s
,
t
)
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
×
f
(
s
,
t
)
d
s
d
t
∂
r
(
x
,
y
)
∂
y
r
2
(
x
,
y
)
)
]
d
y
×
[
log
(
H
(
R
,
R
′
)
/
H
(
x
,
y
)
]
-
q
+
1
-
q
+
1
|
y
=
c
y
=
d
}
d
x
,
where
(31)
L
(
x
,
y
)
=
-
1
r
(
x
,
y
)
∫
x
b
r
(
s
,
y
)
h
(
s
,
y
)
f
(
s
,
y
)
d
s
.
If
q
>
1
, then we observe that
(32)
∫
c
d
∫
a
b
E
(
x
,
y
)
w
(
x
,
y
)
H
(
x
,
y
)
-
1
h
~
(
x
,
y
)
×
(
log
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
)
-
q
F
(
x
,
y
)
p
d
x
d
y
≤
p
q
-
1
∫
c
d
∫
a
b
[
w
(
x
,
y
)
(
log
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
)
-
q
+
1
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
×
L
(
x
,
y
)
F
(
x
,
y
)
p
-
1
(
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
)
-
q
+
1
]
d
x
d
y
=
p
q
-
1
×
∫
c
d
∫
a
b
[
{
(
log
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
)
-
q
}
1
/
p
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
×
log
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
w
(
x
,
y
)
1
/
p
H
(
x
,
y
)
(
p
-
1
)
/
p
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
×
h
(
x
,
y
)
-
(
p
-
1
)
/
p
L
(
x
,
y
)
{
(
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
)
-
q
}
1
/
p
]
×
[
{
(
log
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
)
-
q
}
(
p
-
1
)
/
p
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
×
w
(
x
,
y
)
(
p
-
1
)
/
p
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
×
[
H
(
x
,
y
)
-
1
×
h
(
x
,
y
)
]
(
p
-
1
)
/
p
llllllllllllll
×
F
(
x
,
y
)
p
-
1
{
(
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
)
-
q
}
p
-
1
/
p
]
d
x
d
y
.
By applying Hölder’s inequality with indices
p
,
p
/
(
p
-
1
)
on the right side of (32), we obtain
(33)
∫
c
d
∫
a
b
w
(
x
,
y
)
H
(
x
,
y
)
-
1
h
~
(
x
,
y
)
×
(
log
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
)
-
q
F
(
x
,
y
)
p
d
x
d
y
≤
β
(
p
q
-
1
)
×
{
∫
c
d
∫
a
b
[
(
log
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
)
-
q
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
×
(
log
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
)
p
w
(
x
,
y
)
H
(
x
,
y
)
p
-
1
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
×
h
(
x
,
y
)
-
(
p
-
1
)
L
(
x
,
y
)
p
(
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
)
-
q
]
d
x
d
y
}
1
/
p
×
{
∫
c
d
∫
a
b
[
(
log
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
)
-
q
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
×
w
(
x
,
y
)
H
(
x
,
y
)
-
1
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
×
h
(
x
,
y
)
F
(
x
,
y
)
p
(
log
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
)
-
q
]
d
x
d
y
}
(
p
-
1
)
/
p
.
Dividing both sides of (33) by the second integral factor on the right side of (33) and raising both sides to the
p
th power, we obtain
(34)
∫
c
d
∫
a
b
w
(
x
,
y
)
H
(
x
,
y
)
-
1
h
~
(
x
,
y
)
×
(
log
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
)
-
q
×
F
(
x
,
y
)
p
d
x
d
y
≤
[
β
(
p
q
-
1
)
]
p
×
∫
c
d
∫
a
b
[
(
log
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
)
p
-
q
w
(
x
,
y
)
H
(
x
,
y
)
p
-
1
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
×
h
(
x
,
y
)
-
(
p
-
1
)
L
(
x
,
y
)
p
(
log
(
H
(
R
,
R
′
)
H
(
x
,
y
)
)
)
p
-
q
]
d
x
d
y
.